Eksempel

Oppgave 1

Undersøk om følgen konvergerer $\left\{\dfrac{n^2-1}{2n^2} \right\}$. Hvis den konvergerer, finn ut hva den konvergerer mot:

Løsning

Vi lar $n$ gå mot uendelig i det allmenne leddet for å se om grensen eksisterer.

$$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{n^2-1}{2n^2} \end{align*}$$

Her vil både teller og nevner gå mot uendelig. Vi løser dette ved å multiplisere teller og nevner med $1/n^2$:

$$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{n^2-1}{2n^2}\cdot\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1-\frac{1}{n^2}}{2} = \frac{\displaystyle \lim_{n\to\infty} 1- \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \lim_{n\to\infty} 2} = \frac{1-0}{2} = \underline{\underline{ \frac{1}{2}}} \end{align*}$$

Tallfølgen konvergerer mot tallet $\frac{1}{2}$.