Eksempel

Oppgave 2

Undersøk om følgen konvergerer $\left\{\dfrac{n^3 - n^5 + 4}{3-n^4+n} \right\}$. Hvis den konvergerer, finn ut hva den konvergerer mot:

Løsning

Vi lar $n$ gå mot uendelig i det allmenne leddet for å se om grensen eksisterer.

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{n^3 - n^5 + 4}{3-n^4+n} \end{align*}

Her vil både teller og nevner gå mot uendelig, så vi må prøve å skrive om uttrykket. Siden $n^5$ har den største potensen, prøver vi å multiplisere med $1/n^5$ i teller og nevner:

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{n^3 - n^5 + 4}{3-n^4+n} \cdot \frac{\frac{1}{n^5}}{\frac{1}{n^5}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^2} - 1 + \frac{4}{n^5}}{\frac{3}{n^5}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^4}} = \frac{0 - 1 + 0}{0 - 0 + 0} = \infty \end{align*}

Grenseverdien eksisterer ikke, så vi kan konkludere med at følgen divergerer.