Eksempel

Oppgave 3

Bruk det siste teoremet til å vise at $\left\{ (-1)^{n+1} \dfrac{n+1}{n^2} \right\}$ konvergerer.

Løsning

Vi ser på absoluttverdien til det allmenne leddet:

\begin{align*} |a_n| = \left| (-1)^{n+1} \frac{n+1}{n^2} \right| = \left|(-1)^{n+1}\right| \left| \frac{n+1}{n^2} \right| \end{align*}

Vi har to ledd, $\left|(-1)^{n+1}\right|$ og $\left| \frac{n+1}{n^2} \right|$. Det siste leddet består av kun positive tall, så dette vil aldri være negativt. Vi kan dermed bare droppe absoluttegnet og heller bare skrive $\frac{n+1}{n^2}$. Det første leddet veksler mellom $-1$ og $1$ etterhvert som $n$ øker. Det eneste som skjer når vi tar absoluttverdien av dette, er at $-1$ blir til $1$. Med andre ord $|(-1)^{n+1}| = 1$. Vi har dermed $|a_n| = \frac{n+1}{n^2}$ og:

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}|a_n| &= \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n^2}\cdot\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{n\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1} = \frac{0+0}{1} = 0 \end{align*}

Siden $\lim_{n\to\infty}|a_n|=0$ sier teoremet at også $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ og vi kan konkludere med at tallfølgen $\{ a_n \} = \left\{ (-1)^{n+1} \dfrac{n+1}{n^2} \right\}$ konvergerer mot $0$.