Eksempel 2

Oppgave 3

Vis at følgen definert som

\begin{align*} a_1 = 2 \ \ \ \ \ \ a_{n+1} = \frac{1}{3-a_n} \end{align*}

tilfredstiller $0 < a_n \leq 2$ og vis at den er avtagende. Bruk dette til å konkludere med at følgen konvergerer.

Løsning

Bevise avtagenhet

Vi starter med å bevise at følgen er avtagende. Vi må da vise at $a_{n+1}< a_n$ for alle $n$. Her vil induksjonsmetoden være gunstig. Hvis vi kan vise at $a_{k+2}< a_{k+1}$ dersom det finnes en $k$ slik at $a_{k+1}< a_{k}$, i tillegg til å vise at $a_2 < a_1$, så har vi bevist at følgen er avtagende.

Det er lett å vise at dette stemmer for $a_2$:

\begin{align*} a_2 = \frac{1}{3-a_1} = \frac{1}{3-2} = 1 < 2 = a_1 \end{align*}

Vi ser at $a_2 < a_1$. La oss så anta at det finnes en $k$ slik at $a_{k+1}< a_k$. Vil dette bety at $a_{k+2} < a_{k+1}$? Vi sjekker:

\begin{align*} a_{k+2} = \frac{1}{3-a_{k+1}} \end{align*}

La oss kalle tallet i nevneren for $b_{k+1}$, altså $b_{k+1} = 3 - a_{k+1}$. Dersom $a_{k+1}< a_k$, vil $b_{k+1} = 3 - a_{k+1} > 3 - a_{k} = b_k$. Vi vi ser at dette stemmer ved å sette opp ulikheten:

\begin{align*} 3 - a_{k+1} &> 3 - a_{k} \\ -a_{k+1} &> -a_{k} \\ a_{k+1} &< a_{k} \\ \end{align*}

Som var det vi påstod. Siden $b_{k+1} > b_k$, får vi $\dfrac{1}{b_{k+1}} < \dfrac{1}{b_{k}}$. Dette gir oss:

\begin{align*} a_{k+2} = \frac{1}{b_{k+1}} < \frac{1}{b_{k}} = a_{k+1} \end{align*}

Dette viser at $a_{k+2} < a_{k+1}$ dersom det gjelder for $a_{k+1} < a_{k}$. Tidligere viste vi at $a_2 < a_1$. Vi kan dermed påstå at $a_3 < a_2$, $a_4 < a_3$, osv. Med andre ord, $a_{n+1} < a_n$ for alle $n$. Følgen er avtagende.

Bevise begrensenhet

Siden vi har vist at følgen er avtagende, og $a_1 = 2$, har vi samtidig vist at $a_n \leq 2$ for alle $n$. Det eneste som gjenstår er å bevist at $a_n > 0$ for alle $n$. Her trenger vi ikke bruke induksjonsmetoden. Vi kan ta en titt på $a_{n+1}$:

\begin{align*} a_{n+1} = \frac{1}{3-a_{n}} \end{align*}

Telleren er alltid positiv siden denne alltid er lik 1. Dersom nevneren også er alltid positiv, vil brøken som helhet være positiv og vi har at $a_n > 0$ for alle $n$. Den eneste måten for nevneren å bli negativ, er dersom $a_{n} > 3$, men vi har allerede bevist at følgen aldri blir større enn 2. Siden følgen aldri blir større enn 2, vil $3-a_{n}$ alltid være positiv. Vi har da at $a_{n+1}$ alltid er positiv for alle $n$, og dermed også $a_n$ siden vi allerede har vist det for $a_1$.

Vi kan dermed konkludere med at følgen er monoton og begrenset, og den vil dermed konvergere.

Konvergens

Anta at følgen konvergerer mot tallet $L$. Vi har da $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L$ og da naturligvis også $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n+1} = L$. Dette gir oss:

\begin{align*} a_{n+1} &= \frac{1}{3-a_n} \\ \lim_{n\to\infty} a_{n+1} &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3-a_n} \\ \lim_{n\to\infty} a_{n+1} &= \frac{1}{3-\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n} \\ L &= \frac{1}{3-L} \\ L(3-L) &= 1 \\ 3L - L^2 - 1&= 0 \\ L^2 - 3L + 1 &= 0 \\ (L - \frac{3-\sqrt{5}}{2})(L + \frac{3-\sqrt{5}}{2}) &= 0 \end{align*}

Vi har to mulige løsninger, $\frac{3-\sqrt{5}}{2} \approx 0.38$ og $\frac{3+\sqrt{5}}{2} \approx 2.61$. Siden vi har vist at $a_n \leq 2$, kan vi konkludere med at følgen konvergerer mot $L = \underline{\underline{\frac{3-\sqrt{5}}{2} \approx 0.38}}$