Monotone og begrensede tallfølger

Oppgave 1

Gi et eksempel på en følge som hverken er begrenset ovenfra eller nedenfra.

Løsning

En følge som hverken er begrenset ovenfra eller nedenfra skal kunne komme så høyt som vi bare ønsker ($+\infty$) og så lavt som vi bare ønsker ($-\infty$). Det er flere måter å kunne oppnå dette. Vi kan f.eks. ha en følge som vokser i tillegg til å alternere mellom positive og negative verdier, slik som følgen $\{ (-1)^{n+1}n \}$:

Så lenge vi har et voksende uttrykk foran $(-1)^{n+1}$ har vi en følge som oppfyller kravene. Vi kunne også brukt trigonometriske funksjoner. Vi vet at $\sin$ og $\cos$ veksler gradvis mellom $1$ og $-1$, så vi kan erstatte $(-1)^{n+1}$ med enten $\sin$ eller $\cos$ for å oppnå det samme. Under har vi følgen $\{ \sin(0.3n)\cdot n \}$:

Vi må derimot være litt forsiktige når vi bruker trigonometriske funksjoner. F.eks. så vil $\sin(2\pi n)$ alltid være lik 0 uansett $n$, så hadde vi hatt $2\pi n$ istedenfor $0.3n$, ville vi fått en tallfølge kun bestående av 0-ere. Legg merke til at vi kan få $\sin$ til å oppføre seg akkurat som $(-1)^{n+1}$ ved å skrive $\sin\left(\pi(n-\frac{1}{2})\right)$. Sett inn noen verdier og sjekk at det stemmer,