Monotone og begrensede tallfølger

Oppgave 2

Tegn opp følgen $\{ \ln n \}$ i geogebra og prøv å klassifisere den.

Løsning

Vi bruker "følge"-kommandoen i geogebra:

Utifra grafen ser det ut som at følgen er voksende. Hvert ledd er større enn leddet som kom før. I tillegg ser det ut til at følgen flater ut. Det kan derfor være fristende å konkludere med at den også er begrenset ovenfra, men det er den faktisk ikke. La oss tenke oss et tall $k$. Hvor stor må $n$ være for at $\ln n$ skal være større enn $k$? Vi løser dette ved å sette opp ulikheten:

\begin{align*} \ln n &> k \\ e^{\ln n} &> e^k \\ n &> e^k \end{align*}

Uansett hvor stor vi velger $k$ kan vi få tallfølgen til å bli større enn dette tallet ved å la $n > e^k$. Følgen $\{ \ln n \}$ er dermed ikke begrenset ovenfra. Dette viser viktigheten av å kunne matematisk bevise påstander og ikke bare stole blindt på en graf.