Eksempel 2

Oppgave 1

Finn arealet til området avgrensa av kurven til $f(x) = 1-x^3$ og koordinataksene. Hint: tegn opp funksjonen først for å få se hvilket område det er snakk om.

Løsning

Vi starter med å tegne grafen til $f(x) = 1-x^3$ for å få overblikk over hvilket område det er snakk om:

Det skraverte området er området avgrensa eller innesluttet av koordinataksene, altså $y$-aksen og $x$-aksen, og grafen til $f(x) = 1-x^3$. Det skraverte området ligger mellom $f(x)$ og $x$-aksen fra $x=0$, hvor $y$-aksen ligger, frem til hvor funksjonen krysser $x$-aksen:

\begin{align*} 1-x^3 &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \end{align*}

Siden hele området ligger mellom funksjonen og $x$-aksen, kan vi finne det ved integrasjon:

\begin{align*} A = \int_0^1 (1-x^3) dx = \left[x - \frac{1}{4}x^4\right]_0^1 = 1-\frac{1}{4} - (0 - 0) = \underline{\underline{\frac{3}{4}}} \end{align*}