Eksempel 2

Oppgave 1

Regn ut $\displaystyle \int \cos(2x) \ dx$ ved å prøve å finne en funksjon du kan derivere for å få $\cos(2x)$.

Løsning

La oss kalle den antideriverte til $f(x) = \cos(2x)$ for $F(x)$. Vi vet at $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$. Vi prøver derfor $F(x) = \sin(2x)$. Deriverer vi $F(x)$ (ved å bruke kjerneregelen) får vi:

$$\begin{align*} F'(x) = 2\cos(2x) \end{align*}$$

Dette er nesten det vi ønsker med unntak av 2-tallet foran cosinusen. For å få vekk 2-tallet, prøver vi $F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$. Derivasjon gir:

$$\begin{align*} F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2\cos(2x) = \cos(2x) = f(x) \end{align*}$$

Siden $F'(x) = f(x)$ har vi:

$$\begin{align*} \int \cos(2x) \ dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C \end{align*}$$