Eksempel 4

Oppgave 1

En gjenstand beveger seg med en hastighet, $v$, \ gitt ved $v(t) = 4t-t^3$, hvor $v$ er målt i meter per sekund og $t$ er målt i sekunder.

1. Hvor langt fra startpunktet (posisjonen ved $t=0$) er gjenstanden etter 3 sekunder?
2. Hvor lang strekning har gjenstanden tilbakelagt i løpet av samme periode?

Løsning

Siden farten er den deriverte av posisjonen $v = \dfrac{ds}{dt}$, blir posisjonen den integrerte av farten:

$$\begin{align*} s &= \int_0^3 v(t) dt = \int_0^3 (4t-t^3) dt = \Big[ 2t^2 - \frac{1}{4}t^4 \Big]_0^3 \\ &= 2(3^2) - \frac{1}{4}(3^4) = 18 - 20.25 = \underline{\underline{-2.25}} \end{align*}$$

Vi ender opp 2.25 m bak posisjonen vi startet.

Vi beveger oss "fremover" der $v(t)>0$ og "bakover" der $v(t)< 0$. Vi må derfor først finne ut hvor funksjonen er positiv og hvor den er negativ. Vi finner nullpunkter:

$$\begin{align*} 4t - t^3 &= 0 \\ t (4-t^2) &= 0 \\ t(2-t)(2+t) &= 0 \end{align*}$$

Vi har tre nullpunkt: $t=0$, $t=2$, og $t=-2$. Siden vi ser på funksjonen fra $t=0$ til $t=3$, er vi kun interesserte i fortegnet til $v(t)$ på hver side av $t=2$. Vi kan sjekke to verdier, f.eks. $t=1$ og $t=3$:

$$\begin{align*} v(1) &= 4\cdot 1 - 1^3 = 3 > 0 \\ v(3) &= 4\cdot 3 - 3^3 = 12 - 27 = -15 < 0 \end{align*}$$

Siden $v(t)$ er negativ på høyre side av $t=2$, vil vi her få en negativ verdi for integralet. For å finne tilbakelagt strekning, deler vi integralet opp i to; ett før $t=2$ og et etter $t=2$, der vi passer på å ta absoluttverdien av integralet etter $t=2$. Tilbakelagt strekning, $l$ blir da:

$$\begin{align*} l &= \int_0^2(4t-t^3) dt + \left| \int_2^3(4t-t^3) \right| = \Big[ 2t^2 - \frac{1}{4}t^4 \Big]_0^2 + \left|\Big[ 2t^2 - \frac{1}{4}t^4 \Big]_2^3\right| \\ &= 2\cdot 2^2 - \frac{1}{4}2^4 + \left| 2\cdot 3^2 - \frac{1}{4}3^4 - 2\cdot 2^2 + \frac{1}{4}2^4 \right| \\ &= 8 - 4 + \left| 18 - \frac{81}{4} -8 + 4\right| = 4 + \left| -6.25 \right| = 4+6.25 = \underline{\underline{10.25}} \end{align*}$$

I løpet av de tre første sekunder, tilbakelegger gjenstanden 10.25 m.