Riemann-summen og det bestemte integral

Oppgave 1

La $f(x)$ være en voksende funksjon. Hvordan vil verdien av en riemann-sum hvor vi bruker funksjonsverdien på starten av hvert delintervall som høyde på rektanglene sammenliknes med det faktiske arealet under kurven? Vil det være større eller mindre enn arealet under kurven? Hva hvis vi lar høyden på rektangelene være funksjonsverdien i enden av hvert delintervall? Tegn en figur for å avgjøre.

Løsning

Som et eksempel tar vi funksjonen $f(x) = \ln x$. Vi skal bruke en riemann-sum til å tilnærme arealet under kurven fra f.eks. 1 til 10. Det faktiske arealet vises i figuren under:

Figuren under viser en Riemann-sum med 10 rektangle, hvor høyden av rektanglene er funksjonsverdien i starten av hvert delintervall (hvert delintervall har en lengde 1). Fra figuren ser vi at alle rektangle ligger litt under den faktiske kurven. Summen av realene av disse vil dermed bli litt lavere enn det faktiske arealet under kurven.

Figuren under viser en liknende Riemann-sum, men der høyden på rektanglene er funksjonsverdien i endene av hvert delintervall. Rektanglene ligger hele tiden litt over funksjonen. Arealet av rektanglene kommer da til å ligge litt over det faktiske arealet.

oppsummering...