Analysens fundamentalteorem

Oppgave 2

La $F(x)$ være en antiderivert til $f(x)$. Dersom vi skriver $\displaystyle g(x) = \int_a^x f(t) \ dt$ på formen $\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = F(b) - F(a)$, får vi $g(x) = F(x) - F(a)$. Bruk dette til å vise at $g'(x) = f(x)$.

Løsning

Vi deriverer $g(x)$:

$$\begin{align*} g'(x) = \frac{d}{dx}F(x) - \frac{d}{dx}F(a) = F'(x) - 0 = F'(x) = f(x) \end{align*}$$

Vi har her brukt at $F(a)$ er en konstant (setter vi inn en verdi for $x$ i et funksjonsuttrykk (her $x=a$ i funksjonen $F(x)$) ender vi opp med et tall). Den deriverte av et tall er lik 0. I tillegg har vi brukt at dersom $F(x)$ er en antiderivert til $f(x)$ har vi at $F'(x) = f(x)$.