Eksempel 1

Oppgave 1

Når man må bruke delvis integrasjon flere ganger, slik som i eksemplet over, er det viktig å gjøre et liknende valg for $u$ og $v'$ når man løser det opprinnelige integralet. Det som som var $u'$ og $v$, må nå velges som henholdsvis $u$ og $v'$ i det nye integralet.

Når vi løste $\int x^2 e^x \ dx$, valgte vi $u=x^2$ og $v'=e^x$. Vi endte da opp med integralet $2\int x e^x$ på høyre side. Dette løste vi med å igjen velge $v' = e^x$ og $u$ lik polynomet (her $x$). Hva skjer dersom prøver å løse $\int x^2 e^x \ dx$ ved å ta et motsatt valg for $u$ og $v'$ på det andre integralet?

Løsning

Etter første bruk av delvis integrasjon stod vi igjen med:

\begin{align} \int x^2 e^x \ dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx \end{align}

Dersom vi løser det andre integralet ved å velge $u=e^x$ og $v' = 2x$, får vi $u' = e^x$, $v = x^2$ og integralet på høyresiden blir:

\begin{align} \int 2x e^x dx = x^2 e^x - \int \int x^2 e^x \ dx \end{align}

Setter vi dette inn i det opprinnelige integralet, får vi:

\begin{align} \int x^2 e^x \ dx &= x^2 e^x - \left( x^2 e^x - \int \int x^2 e^x \ dx \right) \\ \int x^2 e^x \ dx &= x^2 e^x - x^2 e^x + \int \int x^2 e^x \ dx \\ \int x^2 e^x \ dx -\int x^2 e^x \ dx &= x^2 e^x - x^2 e^x \\ 0 &= 0 \end{align}

Det er riktig at null er lik null, men det hjelper oss lite med å finne en løsning på integralet.