Eksempel 1

Oppgave 2

Anta at vi løser et integral ved delvis integrasjon

\begin{align} \int (u \cdot v' ) dx &= u\cdot v - \int (u'\cdot v) dx \end{align}

der det andre integralet $\int (u'\cdot v) dx$ må løses ved delvis integrasjon. La $u_{\textrm{ny}}$ $v_{\textrm{ny}}'$ være valget for $u$ og $v'$ i integralet på høyre side. Vis at man alltid ender opp med $0=0$ dersom man velger $u_{\textrm{ny}} = v$ og $v_{\textrm{ny}}' = u'$.

Løsning

Velger vi $u_{\textrm{ny}} = v$ og $v_{\textrm{ny}}' = u'$, får vi $u_{\textrm{ny}}' = v'$ og $v_{\textrm{ny}} = u$. Integralet på høyre side tar da formen:

\begin{align} \int (u'\cdot v) dx = u\cdot v - \int (u\cdot v')dx \end{align}

Setter vi dette inn i det opprinnelige integralet, får vi:

\begin{align} \int (u \cdot v' ) dx &= u\cdot v - \left( u\cdot v - \int (u\cdot v')dx \right) \\ \int (u \cdot v' ) dx &= u\cdot v - u\cdot v + \int (u\cdot v')dx \\ \int (u \cdot v' ) - \int (u \cdot v' )dx &= u\cdot v - u\cdot v \\ 0 &= 0 \end{align}

Med andre ord: skal integralet på høyre side løses ved delvis integrasjon, må vi fortsette med vårt valg av $u$ og $v'$, alstå det som på høyresiden står som $u'$ må bli vår nye $u$ og det som står på høyresiden som $v$ må bli vår nye $v'$.