Eksempel 3

Oppgave 1

Hvorfor må vi legge på en konstant $C$ i sluttsvaret når dette ikke står i den opprinnelige likheten?

Løsning

Både $\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$ og $\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x)$ deriveres til $e^x \sin x \ dx$. For å være mest mulig generell, må vi legge på konstanten $C$. Denne konstanten får vi vanligvis automatisk når vi løser integralet på høyresiden i en delvis integrasjon, men her løste vi teknisk sett ikke integralet på vanlig måte. Istedenfor behandlet vi integralet som en ukjent varabel og bare løste en likning med èn ukjent. Dette kan anses som en svakhet med det opprinnelige likheten for delvis integrasjon. En mer generell formel ville vært:

\begin{align} \int (u \cdot v' ) dx &= u\cdot v - \int (u'\cdot v) dx + C \end{align}

men vanligvis dropper vi $C$'en når vi presenterer delvis integrasjon, da denne som regel dukker opp uansett etter integrasjon av integralet på høyresiden.