Eksempel 3

Oppgave 2

Bruk delvis integrasjon på $\displaystyle \int \sin x \cos x \ dx$ til å vise at både $\dfrac{\sin^2 x}{2}$ og $-\dfrac{\cos^2 x}{2}$ er en antiderivert for $\sin x \cos x$.

Hint: Løs integralet ved å gjøre et valg for $u$ og $v'$. Løs så integralet på nytt med motsatt valg.

Løsning

Vi velger først $u=\sin x$ og $v'=\cos x$, som gir oss $u'=\cos x$ og $v=\sin x$. Delvis integrasjon gir oss da:

\begin{align} \int \sin x \cos x \ dx &= \sin x \sin x - \int \sin x \cos x \ dx \\ \int \sin x \cos x \ dx &= \sin^2 x - \int \sin x \cos x \ dx \\ \int \sin x \cos x \ dx + \int \sin x \cos x \ dx &= \sin^2 x \\ 2\int \sin x \cos x \ dx &= \sin^2 x\\ \int \sin x \cos x \ dx &= \frac{\sin^2 x}{2} + C \end{align}

Vi har dermed vist at $\frac{\sin^2 x}{2}$ er en antiderivert. Vi løser så integralet på nytt, men nå med $u=\cos x$ og $v'=\sin x$. Vi får da $u'=-\sin x$ og $v = -\cos x$, og vi får:

\begin{align} \int \sin x \cos x \ dx &= -\cos x \cos x - \int (-\sin x)(-\cos x)dx \\ int \sin x \cos x \ dx &= -\cos^2 x - \int \sin x \cos x dx \\ \int \sin x \cos x \ dx + \int \sin x \cos x \ dx &= -\cos^2 x \\ 2\int \sin x \cos x \ dx &= -\cos^2 x \\ \int \sin x \cos x \ dx &= -\frac{\cos^2 x}{2} + C \end{align}

Dette viser at også $-\frac{\cos^2 x}{2}$ er en antiderivert for $\sin x \cos x$.