Delvis integrasjon

Oppgave 1

Bruk delvis integrasjon til å løse integralet $\displaystyle \int x \cos(x) dx$.

Løsning

Vi ønsker å gjøre et valg for $u$ og $v'$ slik at integralet av produktet $u' \cdot v$ blir et integral vi kan løse. Dersom vi klarer å få fjernet $x$, slik at vi bare står igjen med en trigonometrisk funksjon, vil vi få et integral som er trivielt å løse. Vi velger derfor $u=x$ og $v'=\cos x$, som gir oss $u'=1$ og $v=\sin x$. Delvis integrasjon gir oss dermed

\begin{align} \int x \cos x \ dx &= x\sin x - \int 1 \cdot \sin x \ dx = x\sin x - \int \sin x \ dx \\ &= \underline{\underline{x\sin x + \cos x + C}} \end{align}