Delvis integrasjon

Oppgave 2

I eksemplet over valgte vi $u=x$ og $v' = e^x$ for å løse integralet $\int x e^x dx$ ved delvis integrasjon. Vis at vi ikke får løst integralet ved delvis integrasjon dersom vi gjør motsatt valg for $u$ og $v'$, altså $u = e^x$ og $v'= x$.

Løsning

Når $u=e^x$ og $v' = x$ får vi $u' = e^x$ og $v = \frac{1}{2}x^2$. Dette gir:

\begin{align*} \int x e^x dx = \frac{1}{2}x^2 e^x - \int \frac{1}{2}x^2 e^x dx \end{align*}

Det siste integralet er ikke et enklere integral enn det vi hadde opprinnelig. Det betyr ikke at dette ikke er løsbart. Kanskje vi kan prøve å bruke delvis integrasjon atter en gang på dette nye integralet? (Det er vanlig når man bruker delvis integrasjon at man må bruke det flere ganger for å komme frem til et integral man kan løse).

Dersom vi gjør et liknende valg for $u$ og $v'$, altså $u=e^x$ og $v' = \frac{1}{2}x^2$, får man $u' = e^x$, $v = \frac{1}{6}x^3$, og det siste integralet tar formen:

\begin{align*} \int \frac{1}{2}x^2 e^x dx = \frac{1}{6}x^3 e^x - \int \frac{1}{6}x^3 e^x dx \end{align*}

Dette siste integralet er enda verre enn det opprinnelig. Og slik vil det fortsette. Velger vi alltid $u=e^x$ vil det siste integralet bare bli verre og verre å løse siden potensen til $x$ vil øke for hver gang. Kanskje vi gjorde et dårlig valg for $u$ og $v'$ når vi brukte delvis integrasjon andre gang? Dersom vi på integralet $\int \frac{1}{2}x^2 e^x dx$ heller velger $u=\frac{1}{2}x^2$ og $v' = e^x$, får vi $u' = x$ og $v=e^x$. Integralet tar da formen:

\begin{align*} \int \frac{1}{2}x^2 e^x dx = \frac{1}{2}x^2 e^x - \int x e^x dx \end{align*}

Integralet på høyre side er faktisk det samme integralet vi opprinnelig skulle løse. Kanskje vi kan sette inn uttrykket for $\int \frac{1}{2}x^2 e^x dx$ inn i det opprinnelige integralet og behandle $\int x e^x dx$ som en ukjent variabel? Vi prøver. Fra før hadde vi:

\begin{align*} \int x e^x dx &= \frac{1}{2}x^2 e^x - \int \frac{1}{2}x^2 e^x dx \\ \end{align*}

Setter vi inn for $\int \frac{1}{2}x^2 e^x dx$ får vi:

\begin{align*} \int x e^x dx &= \frac{1}{2}x^2 e^x - \left( \frac{1}{2}x^2 e^x - \int x e^x dx \right) \\ \int x e^x dx &= \frac{1}{2}x^2 e^x - \frac{1}{2}x^2 e^x + \int x e^x dx \\ \int x e^x dx - \int x e^x dx &= \frac{1}{2}x^2 e^x - \frac{1}{2}x^2 e^x \\ 0 &= 0 \end{align*}

Dette er et teknisk sett riktig, men verdiløst, resultat. Det ser ut til at delvis integrasjon ikke kan hjelpe oss med å løse integralet med mindre vi velger $u = x$ og $v' = e^x$.

Tips:

Ikke vær redd for å gjøre feil valg for $u$ og $v'$. I verste fall ender du bare opp med et integral som du ikke får løst. Dersom du mistenker delvis integrasjon som en mulig metode for å løse et integral, men der du er usikker på hva du skal velge for $u$ og $v'$, så kan det være lurt å bare gjøre et valg og se hva du får. Ser det ut til at integralet ikke blir løsbart, prøver du bare et annet valg for $u$ og $v'$.