Delbrøkoppspalting

Oppgave 1

Bruk delbrøkoppspalting på den rasjonale funksjonen $\dfrac{3x-1}{x(x-1)}$

Løsning

Nevneren er allerede faktorisert, så vi kan dele opp det rasjonale uttrykket i to brøker, en for hver faktor:

\begin{align*} \frac{3x-1}{x(x-1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x-1} \end{align*}

For å finne $a$ og $b$ samler vi brøkene til en felles brøk og sammenlikner med det opprinnelige uttrykket:

\begin{align*} \frac{a}{x} + \frac{b}{x-1} &= \frac{a}{x}\frac{x-1}{x-1} + \frac{b}{x-1}\frac{x}{x} \\ &= \frac{a(x-1) + bx}{x(x-1)} \\ &= \frac{(a+b)x - a}{x(x-1)} \\ &= \frac{3x-1}{x(x-1)} \end{align*}

Sammenlikned vi tallet foran $x$ og konstenten i den opprinnelige telleren, ser vi at $a+b = 3$ og $a=1$. Dette gir $b = 3-a = 2$. Vi har dermed:

\begin{align*} \frac{3x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x-1} \end{align*}