Delbrøkoppspalting

Oppgave 2

Løs integralet: $\displaystyle \int \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x^3-x} \ dx$ ved delbrøkoppspalting.

Løsning

Vi starter med å faktorisere nevneren:

\begin{align*} x^3-x = x(x^2-1) = x(x-1)(x+1) \end{align*}

Den rasjonale funksjonen kan deles opp i tre brøker med henholdsvis nevner $x$, $x-1$ og $x+1$:

\begin{align*} \frac{x^2 - 2x + 2}{x(x-1)(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1} \end{align*}

Vi finner konstantene $a$, $b$ og $c$ ved å samle brøkene til ett rasjonalt uttrykk og sammenlikne telleren med den opprinnelige telleren:

\begin{align*} \frac{a}{x} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1} &= \frac{a}{x}\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{b}{x-1}\frac{x(x+1)}{x(x+1)} + \frac{c}{x+1}\frac{x(x-1)}{x(x-1)} \\ &= \frac{a(x^2 - 1) + b(x^2 + x) + c(x^2 - x)}{x(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{(a+b+c)x^2 + (b-c)x - a}{x(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{x^2 - 2x + 2}{x(x-1)(x+1)} \end{align*}

Sammenlikner vi hva som står foran $x^2$, $x$ og konstantleddet i den opprinnelige telleren, ser vi at $a+b+c = 1$, $b-c = -2$ og $-a = 2$. Dette gir oss $a = -2$ og $b = c-2$. Dette kan vi sette inn i den første likheten:

\begin{align*} a+b+c &= 1 \\ -2 + (c-2) + c &= 1 \\ 2c - 4 &= 1 \\ 2c &= 5 \\ c &= \frac{5}{2} \end{align*}

Dette gir oss $b = c-2 = \frac{5}{2}-2 = \frac{1}{2}$. Den opprinnelige rasjonale funksjonen kan med andre ord skrives om til:

\begin{align*} \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x^3-x} &= \frac{-2}{x} + \frac{\frac{1}{2}}{x-1} + \frac{\frac{5}{2}}{x+1} \end{align*}

Istedenfor å integrere denne opprinnelige rasjonale funksjonen, kan vi heller integrere de tre brøkene:

\begin{align*} \int \frac{x^2 - 2x + 2}{x^3-x} \ dx &= \int \left( \frac{-2}{x} + \frac{\frac{1}{2}}{x-1} + \frac{\frac{5}{2}}{x+1} \right) \ dx \\ &= \underline{\underline{-2\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{5}{2}|x+1| + C}} \end{align*}