Polynomdivisjon

Oppgave 1

Løs integralet $\displaystyle \int \frac{x^3 + 3x^2 + 2x + 2}{x+1} dx$ ved å først forenkle den rasjonale funksjonen ved polynomdivisjon:

Løsning

Vi forenkler først ved å utføre en polynomdivisjon:

\begin{align} x^3 + 3x^2 + 2x + 2 : x+1 = x^2 + 2x + \frac{2}{x+1} \end{align}

Integralet blir dermed

\begin{align} \int \frac{x^3 + 3x^2 + 2x + 2}{x+1} dx = \int\left( x^2 + 2x + \frac{2}{x+1}\right) dx = \underline{\underline{\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 2\ln|x+1| + C}}. \end{align}