Eksempel 1

Oppgave 1

Løs integralet $\displaystyle \int \dfrac{x}{x^2+1} \ dx$

Løsning

Her har vi en sammensatt funksjon med $x^2+1$ i nevner som kjerne. I tillegg har vi $x$ i teller. Dette er ikke helt likt den deriverte av kjernen, $\frac{d}{dx}(x^2+1) = 2x$. Men siden det eneste som skiller den deriverte $2x$ fra telleren $x$ er faktoren $2$ prøver vi likevel variabelskiftet $u = x^2+1$. Den deriverte av $u$ gir:

\begin{align*} \frac{du}{dx} &= 2x \\ \frac{1}{2}du &= x \ dx \end{align*}

Vi gjor substitusjonen $x^2+1 = u$ og $x \ dx = \frac{1}{2}du$ og får:

\begin{align*} \int \frac{x}{x^2+1} \ dx = \int \frac{1}{2}\frac{1}{u} du = \frac{1}{2}\ln|u| + C = \underline{\underline{\frac{1}{2}\ln|x^2+1| + C}} \end{align*}