Eksempel 2

Oppgave 1

Bruk substitusjon på $\displaystyle \int \sin x \cos x \ dx$ til å vise at både $\frac{1}{2}\sin^2 x$ og $-\frac{1}{2}\cos^2 x$ er en antiderivert for $\sin x \cos x$.

Hint: Integrer først med et valg for $u$ for så å løse det igjen med et annet valg for $u$.

Tillegsspørsmål: Siden både $\frac{1}{2}\sin^2 x$ og $-\frac{1}{2}\cos^2 x$ er en antiderivert for $\sin x \cos x$ betyr dette at $\frac{1}{2}\sin^2 x = -\frac{1}{2}\cos^2 $?

Løsning

Siden $\cos x$ er den deriverte av $\sin x$, prøver vi $u = \sin x$. Derivasjon av $u$ gir:

\begin{align*} \frac{du}{dx} &= \cos x \\ du &= \cos x \ dx \end{align*}

Insatt i integralet vi får:

\begin{align*} \int \sin x \cos x \ dx = \int u \ du = \frac{1}{2}u^2 + C = \frac{1}{2}\sin^2 x + C \end{align*}

som viser at $\frac{1}{2}\sin^2 x$ er en antiderivert av $\sin x \cos x$. Dersom vi heller prøver substitusjonen $u = \cos x$, får vi:

\begin{align*} \frac{du}{dx} &= -\sin x \\ -du &= \sin x \ dx \end{align*}

Integralet blir dermed:

\begin{align*} \int \sin x \cos x \ dx = -\int u \ du = -\frac{1}{2}u^2 + C = -\frac{1}{2}\cos^2 x + C \end{align*}

som viser at $-\frac{1}{2}\cos^2 x$ er en antiderivert av $\sin x \cos x$.

Tillegspørsmålet

Nei, det betyr ikke at $\frac{1}{2}\sin^2 x = -\frac{1}{2}\cos^2 $. Vi vet at to antideriverte kan skille hverandre med en konstant. Dette er grunnen til at vi putter på en $C$ etter et ubestemt integral. La oss skrive den ene antideriverte som

\begin{align*} \frac{1}{2}\sin^2 x + C \end{align*}

hvor $C$ er en konstant. La oss sette de antideriverte lik hverandre for å se om vi kan finne en verdi for $C$:

\begin{align*} \frac{1}{2}\sin^2 x + C &= -\frac{1}{2}\cos^2 x \\ \sin^2 x + \cos^2 x &= -2C \\ 1 &= -2C \\ C &= -\frac{1}{2} \end{align*}

Vi brukte her den generelle likheten $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Vi fikk at $C=-\frac{1}{2}$ som vil si at:

\begin{align*} \frac{1}{2}\sin^2 x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\cos^2 x \end{align*}