Eksempel 3

Oppgave 1

Forklar hvorfor vi ofte må endre integralgrensene når vi bruker substitusjon til å regne ut bestemte integaler.

Løsning

Når vi integrerer med hensyn på $x$, f.eks.:

\begin{align*} \int_1^2 2xe^{x^2} dx \end{align*}

Må vi huske på at det er $x$ som skal integreres fra 1 til 2. Gjør vi et variabelskifte, f.eks. $u = x^2$, blir det opprinnelige integralet konvertert til integralet:

\begin{align*} \int_a^b e^{u} du \end{align*}

Dersom vi ikke endra på integrasjonsgrensene, så blir det som om vi skulle integrert funksjonen der vi bare bytte ut $u$ med $x$:

\begin{align*} \int_1^2 e^{x} dx \end{align*}

Dette gir ikke det samme svaret som det opprinnelige integralet, rett og slett fordi $2xe^{x^2}$ er en ganske annerledes funksjon enn $e^x$. Vi må derfor oppdatere integrasjonsgrensene slik at verdien av det nye integralet blir lik verdien av det opprinnelige. Dette gjør vi ved å se hva $u$ er lik for $x$ verdiene av integrasjonsgrensene. Siden $u = u(x) = x^2$ dette eksemplet får vi $u(1) = 1^2 = 1$ og $u(2) = 2^2 = 4$. For at verdien av integralet skal være det samme etter substitusjonen måtte vi her brukt grensene $1$ og $4$ istendenfor $1$ og $2$. Med andre ord:

\begin{align*} \int_1^2 2xe^{x^2} dx = \int_1^4 e^{u} du \end{align*}