Eksempel 3

Oppgave 2

Løs integralet $\displaystyle \int_1^2 \frac{2x}{x^2+1} \ dx$

Løsning

Vi har en sammensatt funksjon med $x^2+1$ som kjerne. I tillegg har vi $2x$ foran den sammensatte funksjonen. Dette er den deriverte av kjernen, så vi prøver substitusjon med $u = x^2 + 1$. Derivasjon av $u$ gir:

\begin{align*} \frac{du}{dx} &= 2x \\ du &= 2x \ dx \end{align*}

Vi erstatter $x^2+1$ med $u$ og $2x \ dx$ med $du$. Siden vi har et bestemt integral, må vi også oppdatere integrasjonsgrensene. Når $x=1$ har vi $u = 1^2 + 1 = 2$. Nå $x=2$ har vi $u = 2^2 + 1 = 5$. Integralet blir dermed:

\begin{align*} \int_1^2 \frac{2x}{x^2+1} dx = \int_2^5 \frac{1}{u} \ du = \Big[ \ln(u) \Big]_2^5 = \ln(5) - \ln(2) \approx \underline{\underline{0.92}} \end{align*}