Substitusjon

Oppgave 1

Vis at integralet

\begin{align*} \int 2x \sin(x^2) \ dx \end{align*}

kan skrives om til

\begin{align*} \int \sin(u) \ du \end{align*}

ved et passende variabelskifte.

Løsning

Vi har en sammensatt funksjon $\sin(x^2)$ med $x^2$ som kjerne. I tillegg står $2x$ utenfor. Siden $2x$ er den deriverte av $x^2$ prøver vi variabelskiftet $u = x^2$. Derivasjon av $u$ gir oss:

\begin{align*} \frac{du}{dx} &= 2x \\ du &= 2x \ dx \end{align*}

Ved å erstatte $x^2=u$ og $2x\ dx = du$, får vi:

\begin{align*} \int 2x \sin(x^2) \ dx = \int \sin(x^2) 2x \ dx = \int \sin(u) \ du \end{align*}

som var det vi skulle vise.