Substitusjon

Oppgave 2

Vis at integralet

\begin{align*} \int \frac{2x+1}{x^2+x} \ dx \end{align*}

kan skrives om til

\begin{align*} \int \frac{1}{u} \ du \end{align*}

ved et passende variabelskifte.

Løsning

Siden telleren $2x+1$ er den deriverte av nevneren $x^2+x$, prøver vi variabelskiftet $u=x^2+x$. Derivasjon av $u$ gir oss:

\begin{align*} \frac{du}{dx} &= 2x + 1 \\ du &= (2x+1)dx \end{align*}

Vi erstatter $x^2+x = u$ og $(2x+1)dx = du$ og får:

\begin{align*} \int \frac{2x+1}{x^2+x} \ dx = \int \frac{(2x+1)dx}{x^2+x} = \int \frac{du}{u} = \int \frac{1}{u}du \end{align*}

som var det vi skulle vise.