Derivasjon av $|f(x)|$

Oppgave 2

Vis at $\dfrac{u}{|u|} = \dfrac{|u|}{u}$.

Løsning

Vi starter med å anta at likheten over stemmer:

\begin{align*} \frac{u}{|u|} &= \frac{|u|}{u} \\ u^2 &= |u|^2 \\ \end{align*}

I andre linje multipliserte vi hver side av likheten med $u|u|$. Vi bruker så at $|u| = \sqrt{u^2}$:

\begin{align*} u^2 &= |u|^2 = \left[ \sqrt{u^2}\right]^2 = \left[\left( u^2 \right)^{1/2}\right]^2 = \left(u^2\right)^{\frac{1}{2}\cdot 2} = u^2 \end{align*}

Vi står igjen med $u^2=u^2$. Siden vi kom hit fra den opprinnelige likheten, viser dette at den opprinnelige likheten også stemmer.