Eksempel 1

Oppgave 2

Oppg. 3

Regnereglene sier at

\begin{align} \int \left[ u(x) + v(x) \right] dx = \int u(x) \ dx + \int v(x) \ dx \end{align}

La $U(x)$ være en antiderivert av $u(x)$ og $V(x)$ en antiderivert av $v(x)$. Integralet av $u(x)$ og $v(x)$ hver for seg gir:

\begin{align*} \int u(x) \ dx &= U(x) + C_1 \\ \int v(x) \ dx &= V(x) + C_2 \\ \end{align*}

der vi har kalt de ukjente konstantene $C_1$ og $C_2$ for å vise at disse ikke nødvendigvis er like. Når vi integrerer summen av $u(x)$ og $v(x)$, slik som i oppgavene over, får vi derimot bare èn ukjent konstant og ikke to:

\begin{align} \int \left[ u(x) + v(x) \right] dx = \int u(x) \ dx + \int v(x) \ dx = U(x) + V(x) + C \end{align}

Hvorfor ender vi opp med èn ukjent konstant når vi får to ukjente konstanter fra hvert av integralene?

Løsning

Vi kan godt tenke oss at vi får to ukjente konstanter fra hvert av integralene:

\begin{align} \int \left[ u(x) + v(x) \right] dx &= \int u(x) \ dx + \int v(x) \ dx = U(x) + C_1 + V(x) + C_2 \\ &= U(x) + V(x) + C_1 + C_2 = U(x) + V(x) + C \end{align}

Her har vi bare brukt at $C = C_1 + C_2$. Vi har slått sammen summen av de to ukjente kontantene i èn ukjent konstant. Summen av to ukjente konstanter er fortsatt en ukjent konstant, så vi kan like gjerne bare skrive opp èn enkelt konstant $C$.

For integralet sin del spiller det ingen rolle om uttrykket til den integrerte har èn konstant eller et uendelig antall konstanter. Alle konstanter deriveres til $0$, så vi har et like generelt uttrykk om det står èn konstant $C$ som om det skulle stå to ukjente konstanter $C_1 + C_2$.