Eksempel 2

Oppgave 1

Forklar hva som er problemet med å si at $F(x) = \ln x + C$ er den integrerte av $f(x) = 1/x$ selv om $F'(x) = 1/x$.

Løsning

Problemet er at $f(x) = 1/x$ er definert for alle $x\in\mathbb{R}/\{0\}$, mens $F(x) = \ln x + C$ kun er definert for $x>0$. $F(x)$ kan ikke være den integrerte for $f(x)$ for $x< 0$ fordi $F(x)$ ikke er definert her. Likheten $\int 1/x \ dx = \ln x + C$ fungerer ikke for negative verdier av $x$ siden vi ikke kan ta logaritmen til et negativt tall. Likheten over blir altså problematisk dersom vi skal la $f(x) = 1/x$ være definert for $x < 0$.

Det generelle uttrykket blir:

\begin{align} \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \end{align}

Skulle vi derimot spesifisere at definisjonsområdet for $f(x)$ er alle positive tall, får vi at $\ln|x| = \ln x$ siden $|x|=x$ når $x> 0$. I dette tilfellet blir det riktig å si at $F(x) = \ln x + C$ er det integrerte av $f(x) = 1/x$. Siden vi opprinnelig ikke spesifiserte definisjonsområdet, må vi anta at vi mener det største mulige definisjonsområdet for funksjonen, som her er alle tall utenom tallet 0, altså $x\in\mathbb{R}/\{0\}$.