Eksempel 4

Oppgave 2

Anta at et legeme har en startfart $v_0$ og akselerasjon gitt ved $a = t+1$. Finn et uttrykk for farten $v$ og posisjon $s$ som funksjon av tid.

Løsning

For å komme fra akselerasjon til posisjon, må vi integrere to ganger, først for å få et uttrykk for farten og så for å få et uttrykk for posisjonen når vi integrerer farten:

\begin{align*} v(t) = \int a(t) \ dt = \int (t+1)dt = \frac{1}{2}t^2 + t + C \end{align*}

Siden vi har oppgitt at $v(0) = v_0$, får vi:

\begin{align*} v(0) = 0 + 0 + C = v_0 \end{align*}

som gir oss:

\begin{align*} v(t) = \frac{1}{2}t^2 + t + v_0 \end{align*}

Posisjonen er da den integrerte av farten:

\begin{align*} s(t) &= \int v(t) \ dt = \int \left(\frac{1}{2}t^2 + t + v_0\right)dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + v_0t + D \\ &= \frac{1}{6}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + v_0t + D \end{align*}

Dersom vi antar at $s(0) = 0$, får vi $D=0$ og:

\begin{align*} s(t) = \frac{1}{6}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + v_0t \end{align*}