Den antideriverte og ubestemte integral

Oppgave 1

Forklar hvorfor både $F_1(x) = x^4$ og $F_2(x) = x^4 + 4$ er en antiderivert av $f(x) = 4x^3$.

Løsning

Dersom vi deriverer $F_1(x)$ og $F_2(x)$ får vi:

\begin{align*} F_1'(x) &= \frac{d}{dx} x^4 = 4x^3 = f(x) \\ F_2'(x) &= \frac{d}{dx}(x^4 + 4) = \frac{d}{dx} x^4 + \frac{d}{dx} 4 = 4x^3 + 0 = 4x^3 = f(x) \end{align*}

Siden både $F_1$ og $F_2$ deriveres til $f(x)$ er både $F_1$ og $F_2$ en antiderivert av $f(x)$.