Den antideriverte og ubestemte integral

Oppgave 2

Forklar forskjellen på en antiderivert og et ubestemt integral.

Løsning

Disse brukes ofte om hverandre, men man kan si at det ubestemte integralet er mer generelt enn antiderivert. En funksjon $F(x)$ er en antiderivert til $f(x)$ dersom $F'(x) = f(x)$. Det ubestemte integralet av $f(x)$ er gitt ved:

\begin{align*} \int f(x) \ dx = F(x) + C \end{align*}

der $F(x)$ er en eller annen antiderivert av $f(x)$ og $C\in \mathbb{R}$. Det ubestemte integralet e dermed mer generelt og kan tenkes på et sett av alle mulige antideriverte til funksjonen $f(x)$ siden $C$ kan være et hvilket som helst tall.

Vanligvis er vi litt mer late i uttalen og man sier som at $F(x)$ er den integrerte av $f(x)$ selv om man kunne argumentere for at vi også burde nevne $F(x)$ "pluss en konstant". Så lenge vi vet dette med oss selv, og passer på å legge til denne konstanten når vi integrerer, så gir byr det sjelden på probleme å si at $F(x)$ er den integrerte av $f(x)$.