Aritmetiske rekker

Oppgave 2

Regn ut summen til den aritmetiske rekken, $\sum_{i=1}^4 (2 + 3(i-1))$, både ved å legge sammen alle tall, og ved å bruke formelen for summen av en aritmetisk rekke.

Løsning

Det første leddet i rekken er $a_1=2$. Dette får vi når $i=1$. Det siste leddet i rekken, $a_4$, finner vi ved å la $i=4$ i det allmenne leddet:

\begin{align*} a_4 = (2 + 3(4-1)) = 11 \end{align*}

Summen av rekken blir dermed:

\begin{align*} S = (a_1+a_n)\frac{n}{2} = (a_1 + a_4)\frac{4}{2} = (2+11)\cdot 2 = \underline{\underline{26}} \end{align*}

Siden rekken har få ledd, går det ikke all verdens arbeid å legge sammen leddene for hånd:

\begin{align*} \sum_{i=1}^4 (2 + 3(i-1)) = 2 + (2 + 3) + (2 + 2\cdot 3) + (2 + 3\cdot 3) = 2 + 5 + 7 + 11 = \underline{\underline{26}} \end{align*}

I dette tilfellet var det omtrent like mye arbeid å bruke formelen som å legge sammen leddene for hånd. Denne forskjellen blir derimot større og større ettersom vi får flere og flere ledd. Hadde vi hatt en aritmetisk rekke med flere tusen ledd, sparer vi mye tid på å bruke formelen for summen.