Geometriske rekker - eksempel 1

Oppgave 1

Finn summen av rekken $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}$ hvis den eksisterer.

Løsning

Vi starte med å skrive om rekken til å likne mer på det generelle uttrykket for en geometrisk rekke:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \end{align*}

Kvotienten i rekken $r=\frac{1}{3}$ og det første leddet i rekken blir $a=\frac{1}{3}$. Siden $|r|< 1$ kan vi konkludere med at rekken konvergerer med sum:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{a}{1-r} =\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \underline{\underline{\frac{1}{2}}} \end{align*}