Geometriske rekker - eksempel 1

Oppgave 2

Finn summen av rekken $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{2^{2n}}$ hvis den eksisterer.

Løsning

Vi starte med å skrive om rekken til å likne mer på det generelle uttrykket for en geometrisk rekke:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{2^{2n}} = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{2^{2}}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} \end{align*}

Vi har en geometrisk rekke med kvotient $r=\frac{3}{4}$ og første ledd $a=\frac{3}{4}$. Siden $|r|< 1$ konvergerer rekken og har sum:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = \underline{\underline{3}} \end{align*}