Geometriske rekker - eksempel 1

Oppgave 3

Vis at rekken $1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} + ...$ er geometrisk og finn summen av rekken.

Løsning

I en geometrisk rekke multipliseres hvert ledd med en konstant faktor $r$. Dette medfører at forholdet mellom hvert ledd og leddet som kom før blir denne konstanten, altså $\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$. Vi sjekker om dette stemmer i vårt tilfelle:

\begin{align*} \frac{a_2}{a_1} &= \frac{-\frac{1}{3}}{1} = -\frac{1}{3} \\ \frac{a_3}{a_2} &= \frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{3}} = -\frac{\frac{1}{3^2}}{\frac{1}{3}} = -\frac{1}{3} \\ \frac{a_4}{a_3} &= \frac{-\frac{1}{27}}{\frac{1}{9}} = -\frac{\frac{1}{3^3}}{\frac{1}{3^2}} = -\frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \end{align*}

Dette ser ut til å stemme og at $r = -\frac{1}{3}$. Siden det første leddet er $a=1$, kan vi skrive rekken som:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-1}{3}\right)^{n-1} \end{align*}

Ved å skrive ut leddene i denne rekken, ser vi at de passer med leddene vi startet med. Siden $|r|< 1$ kan vi konkludere med at rekken konvergerer og har sum:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{1-\left(\frac{-1}{3}\right)} = \frac{1}{1+\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \underline{\underline{\frac{3}{4}}} \end{align*}