Geometriske rekker - eksempel 2

Oppgave 1

Finn summen av rekken $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4^n} + \frac{3^n}{2^n} \right)$ hvis den eksisterer.

Løsning

Vi bruker at $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n$ og får:

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4^n} + \frac{3^n}{2^n} \right) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{2}\right)^n \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \end{align*}$$

Vi har to geometriske rekker. Den første har kvotient $r=\frac{1}{4}$ og konvergerer, mens den andre har kvotient $r = \frac{3}{2}$ og divergerer siden $|r|> 1$. Siden en av rekkene divergerer, kan ikke summen av rekkene ha en definert sum og vi må konkludere med at den opprinnelige rekken divergerer.