Geometriske rekker - eksempel 2

Oppgave 3

Finn summen av rekken $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(0.8^{n-1}-0.3^n)$ hvis den eksisterer.

Løsning

Vi bruker regnereglene for rekker og prøver å få rekken til å likne på geometriske rekker:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}(0.8^{n-1}-0.3^n) = \sum_{n=1}^{\infty}0.8^{n-1}-\sum_{n=1}^{\infty} 0.3^n = \sum_{n=1}^{\infty}0.8^{n-1}-\sum_{n=1}^{\infty} 0.3\cdot 0.3^{n-1} \end{align*}

Vi har her to geometriske rekker, en med $r=0.8$ og $a=1$, og en med $r=0.3$ og $a=0.3$. Begge rekkene har $|r|< 1$ og konvergerer dermed. Summen av rekken blir:

\begin{align*} &\sum_{n=1}^{\infty}0.8^{n-1}-\sum_{n=1}^{\infty} 0.3\cdot 0.3^{n-1} = \frac{1}{1-0.8} - \frac{0.3}{1-0.3} \\ &= \frac{1}{0.2} - \frac{0.3}{0.7} = 5 - 0.42857...\approx \underline{\underline{4.57}} \end{align*}