Geometriske rekker - eksempel 2

Oppgave 4

Finn for hvilke verdier av $x$ rekken $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(3x-2)^{n-1}$ konvergerer.

Løsning

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten $|r| < 1$. I vårt eksempel har vi $r=3x-2$. Vi må sjekke når $|3x-2| < 1$, dvs. når:

$$\begin{align*} -1 &< 3x-2 < 1 \\ 1 &< 3x < 3 \\ \frac{1}{3} &< x < 1 \\ \end{align*}$$

Rekken konvergerer for $x\in(\frac{1}{3}, 1)$.