Geometriske rekker - eksempel 3

Oppgave 1

Bruk en geometrisk rekke til å vise at $0.333... = \dfrac{1}{3}$.

Løsning

Vi skriver $0.\overline{3} = 0.333...$ som en sum av tallene:

\begin{align*} 0.\overline{3} &= 0.3 + 0.03 +0.003 +... \\ &= \frac{3}{10} + \frac{3}{10^2} + \frac{3}{10^3}+... \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{10^n} = \sum_{n=1}^{\infty}3\left(\frac{1}{10}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{10}\left(\frac{1}{10}\right)^{n-1} \end{align*}

Dette er en geometrisk rekke med kvotient $r = \frac{1}{10}$ og førsteledd $a=\frac{3}{10}$. Siden $|r|< 1$ konkluderer vi med at rekken konvergerer og har sum:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{10}\left(\frac{1}{10}\right)^{n-1} = \frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \end{align*}

Med andre ord: $0.333... = \dfrac{1}{3}$.