Geometriske rekker - eksempel 3

Oppgave 2

De fleste har lite problemer med å godta at $\dfrac{1}{3} = 0.333...$, men veldig mange sliter med å godta at $1 = 0.999...$, selv om disse to er konseptuelt ganske like. Kan du tenke deg mulige forklaringer på dette?

Løsning

Det kan være mange mulige årsaker, men en mulig forklaring kan være vårt forhold til tallet 1 og rasjonale tall på brøkform. Vi er vant til å tenke på rasjonale tall på brøkform som desimaltall, at $\frac{a}{b}$ blir et tall med desimaler. Vi godtar derfor at $\frac{1}{3} = 0.333...$ selv om dette burde være like konseptuelt vanskelig som $1 = 0.999...$. Tallet 1 derimot, har vi et helt annet forhold til. Dette er et tall vi har fått et forhold til fra vi er små barn og tenker ofte på dette som en representasjon for mengden "èn ting", "ett objekt" o.l. Det kan òg hende vi blir forvirret av at tallet 1 ikke er på brøkform, slik $\frac{1}{3}$ er. Skulle dette være årsaken til vanskelighetene, har vi en enkel løsning: Vi skriver bare $1=\frac{1}{1} = 0.999...$.

Dette er også et tilfelle hvor vi blir tvunget til å konfontrere konseptet uendelig. Vanligvis tenker vi ikke over at dette er et ganske vrient konsept. Vi deler på 0 og får uendelig, eller deler på uendelig og får 0, og alt er bare fryd og gammen. Vi kan selvsagt hverken dele på 0 eller uendelig. Uendelig er ikke et tall og deling med 0 er udefinert. Det er likevel regler vi ofte lagrer oss i hodet for å gi konseptet rundt uendelig en håndfast mening. Men uendelig er mer vrient enn som så. Vi kan ikke forestille oss uendelighet. Så når vi ser $0.999...$ ser vi fort for oss et tall med endelig antall 9'ere og at vi ligger "ganske nært" tallet 1. Men det er ikke et endelig antall 9'ere. Det er uendelig mange. Den eneste måten dette gir praktisk mening, er å se på det som en grense (summen av en uendelig geometrisk rekke). Denne summen konvergerer mot 1, så $0.999... = 1$.

Selv om vi har matematisk bevist at $1 = 0.999...$, er det flere måter vi kan konseptuelt overbevise oss selv om at dette er rimelig. Et måte er å tenke på to forskjellige tall på en kontinuerlig tallinje. Vi vet at dersom to tall er ulike, kan vi alltid finne et tall mellom disse to uansert hvor nærme de måtte ligge (vi har faktisk uendelig mange tall mellom dem). F.eks. mellom 1 og 2 finner vi tallet 1.5, mellom 1 og 1.5 finner vi 1.25, mellom 1.01 og 1.02 finner 1.005, osv. Prøver vi derimot å finne et tall mellom 0.999... og 1, kommer vi til å slite. Uansett hvordan vi prøver, så finner vi ikke et tall som ligger mellom 0.999... (uendelig mange 9'ere) og 1. Dette er fordi de representerer det samme tallet.