Geometriske rekker - eksempel 3

Oppgave 3

Hvorfor kan vi ikke bruke denne teknikken til å skrive irrasjonale tall på brøkform, f.eks. tallet $\sqrt{2} = 1.414213562...$ eller $\pi = 3.141592654...$?

Løsning

Det korte svaret er at irrasjonale tall ikke kan skrives på brøkform, så da vil naturligvis ingen teknikker klare å få slike tall på brøkform.

Et irrasjonalt tall vil ikke ha noe periodisk mønster i desimaltallene sine, og vi er avhengig av dette for å få teknikken vår til å fungere. Dersom vi har et tall med et visst antall desimaler før det kommer et sett med periodiske desimaler, f.eks.

\begin{align*} 2.36417665766576657665... = 2.3641\overline{7665} \end{align*}

så kan vi bruke teknikken med geometriske rekker ved å første skille ut delen av tallet uten periodiske desimaler:

\begin{align*} 2.3641 + 0.0000\overline{7665} = 2.3641 + \frac{7665}{10000^2} + \frac{7665}{10000^3} + \frac{7665}{10000^4} + ... \end{align*}

Leddene etter 2.3641 danner en geometrisk rekke, som vi kan utnytte for å skrive tallet på brøkform. Men dersom vi aldri får desimaler som repeteres, får vi aldri muligheten til å skrive en slik geometrisk rekke, og dermed blir også teknikken ubrukelig.