Geometriske rekker

Oppgave 3

Hvordan må vi endre det allmenne leddet i den geometriske rekken

$$\begin{align*} a + ar + ar^2 + ar^3 + ... = \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \end{align*}$$

dersom vi ønsker at $n$ skal starte på 0 istedenfor 1, men der leddene skal være uforandret? Altså hva må $a_n$ være i tilfellet under?

$$\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} a_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... \end{align*}$$

Løsning

Ved å gjøre en liten omskriving av rekken:

$$\begin{align*} ar^0 + ar^1 + ar^2 + ar^3 + ... \end{align*}$$

Ser vi at

$$\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} ar^n = ar^0 + ar^1 + ar^2 + ar^3 + ... \end{align*}$$

Vi starter med å sette $n=0$ som gir oss $ar^0 = 0$. Neste ledd blir da $ar^1 = ar$, osv. Dette stemmer med leddene i rekken.