Rekker

Oppgave 3

1. Forklar forskjellen mellom $\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n$ og $\displaystyle \sum_{i=1}^N a_i$.
2. Forklar forskjellen mellom $\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n$ og $\displaystyle \sum_{n=1}^N a_i$.

Løsning

a)

Det er ingen forskjell. Rekkene som summetegnet representerer er identiske. Eneste forskjell er bare hva vi kaller "tellevariabelen". I første eksemplet kaller vi den $n$ mens i andre eksemplet kaller vi den $i$. I begge tilfeller starter $n$ eller $i$ på 1 og øker med 1 helt til vi kommer til tallet $N$. F.eks.:

\begin{align*} \sum_{n=1}^4 n^2 &= 1^1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 \\ \sum_{i=1}^4 i^2 &= 1^1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 \\ \end{align*}

I begge tilfeller over ser vi at rekkene er identiske, dvs. identiske tall som legges sammen.

b)

Her er det stor forskjell. I begge tilfeller er det $n$ som er tellevariabel. I summetegnet står det i begge tilfeller at $n$ skal starte på 1 og øke med 1 helt til vi når $N$. Problemet er at vi har et allment ledd som avhenger av $n$ i den første summen, $a_n$, mens det allmenne leddet avhenger av $i$ i den andre summen, $a_i$. Siden det er spesifisert i summetegnet at det er $n$ som er tellevariabel, vil $i$ bare stå der uten å endre seg. F.eks.:

\begin{align*} \sum_{n=1}^4 n^2 &= 1^1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 \\ \sum_{n=1}^4 i^2 &= i^2 + i^2 + i^2 + i^2 = 4i^4 \\ \end{align*}

I den andre summen står det at vi skal la $n$ starte på 1 og legge sammen hvert leddd hvor vi øker $n$ med 1. Problemet er at det ikke står noen $n$ i det allmenne leddet, så alle ledd vi skal legge sammen blir like. Tallet $i$ blir da å betrakte som en konstant. Dette blir lettere å se dersom vi lar $n$ være tellevariabelen, men der vi har en blanding av $n$ og $i$ i det allmenne leddet:

\begin{align*} \sum_{n=1}^4 i \cdot n &= i \cdot 1 + i \cdot 2 + i \cdot 3 + i\cdot 4 \\ \end{align*}

Når man jobber med rekker, spiller det ingen rolle hva vi kaller "tellevariabelen" vår, altså tallet vi skal hele tiden øke med 1. Men vi må i tillegg være oppmerksom på hva som er tellevariabeler og hva som er konstanter. Tellevariabelen er alltid det symbolet som står under summetegnet.

Noen ganger vil man ikke spesifisere hva tellevariabelen skal starte og stoppe på. F.eks. i fysikk er det vanlig å se summer ala $\sum_n F_n$ eller bare $\sum F$. Her er det da underforstått at vi mener "legg sammen alle $F$'er". Hva som menes med "alle F'er" vil da være avhengig av hvilken fysisk situasjon vi ser på. Newtons andre lov skriver man f.eks. ofte som $\sum F = ma$, hvor $F$ representerer kraft, $m$ representerer masse og $a$ akselerasjon. Her betyr det "summen av alle krefter som virker på en gjenstand er lik gjenstandens masse multiplisert med gjenstandens akselerasjon".