Rekker

Oppgave 4

Finn det allmenne leddet $a_n$ i rekken $1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + ...$ og skriv rekken på formen $ \sum_{n=1}^{\infty}a_n$.

Løsning

Vi må prøve å finne et mønster i nevnerene i hvert ledd, $3,9,27,...$. Vi ser at $9 = 3^2$ og at $27=3^3$. Ved å bruke at $3=3^1$ og at tallet 1 kan tenkes som $1 = \frac{1}{1} = \frac{1}{3^0}$ , kan vi skrive følgen som:

\begin{align*} \frac{1}{3^0} + \dfrac{1}{3^1} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + ... \end{align*}

Dersom $n$ skal starte på 1, får vi $a_n = \frac{1}{3^{n-1}}$ og:

\begin{align*} \frac{1}{3^0} + \dfrac{1}{3^1} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + ... = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n-1}} \end{align*}