Rekker

Oppgave 5

Det kan være fristende å tenke at summen av en rekke $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ blir det samme som grenseverdien til det allmenne leddet $a_n$, eller i hvertfall at rekken konvergerer dersom $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$ eksisterer. Forklar hvorfor dette ikke nødvendigvis stemmer.

Løsning

Når vi tar $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$ får vi bare hva leddene vi skal legge sammen går mot og ikke hva summen av disse leddene går mot. Ta f.eks. rekken

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{4}{5} + ... \end{align*}

Grenseverdien av det allmenne leddet blir $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1$. Med andre ord: etterhvert som $n$ blir større og større, legger vi sammen tall som blir mer og mer lik tallet 1. En sum av uendelig mange tall som er nær lik 1 vil gå mot uendelig. Så selv om $a_n$ konvergerer mot tallet 1, vil summen av $a_n$-leddene divergere. Dette vil faktisk skje så lenge $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$. Dersom $a_n$ konvergerer mot et tall utenom 0, vil vi få samme problemet med at vi legger sammen uendelig mange nesten like tall. En slik rekke vil divergere.

Rekken vil også divergere dersom $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ ikke eksisterer. Går $a_n$ mot $\pm \infty$ er dette opplagt; vi legger sammen tall som går mot uendelig. Vi får også divergens i tilfeller ala $a_n = (-1)^{n+1}$. Delsummene $S_N$ vil da stå å veksle mellom 1 og 0. Følgen $\{S_N \}$ vil da per definisjon divergere, som igjen betyr at rekken divergerer per definisjon.

Merk: dette betyr ikke nødvendigvis at rekken konvergerer dersom $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0$. Rekken $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ er et eksempel på en rekke hvor $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0$, men der rekken selv divergerer.