Rekker

Oppgave 6

Vi tar for oss rekken

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} = 1-1+1-1+1-1+... \end{align*}$$

Ved å sette en parantes rundt to og to ledd, får vi

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} &= (1-1) + (1-1) + (1-1) +... \\ &= 0 + 0 + 0 + ... = 0 \end{align*}$$

Men dersom vi flytter parantesen et hakk til høyre, får vi:

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} &= 1+ (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1+1) +... \\ &= 1 + 0 + 0 + 0 +... = 1 \end{align*}$$

Med andre ord; vi får at rekkens sum både er 0 og 1, som bare kan bety at 0=1. Kom med en forklaring på dette paradokset.

Løsning

Problemet er at vi gjør feil når vi sier at summen av rekken er 0 eller 1. Ser vi på delsummene $S_N$ vil disse veksle mellom å være lik 1 og 0. Følgen $\{S_N\}$ divergerer, som betyr at rekken selv divergerer. Rekken har ingen definert sum. Å si at

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} &= (1-1) + (1-1) + (1-1) +... \\ &= 0 + 0 + 0 + ... = 0 \end{align*}$$

gir ikke mening. Hva summen av rekken er avhenger av når vi "stopper". Skulle vi stoppe på $n=1,3,5,...$ vil summen være 1, mens den vil være $0$ dersom vi stopper på $n=2,4,6,...$. Dersom vi aldri stopper, dvs. vi har en uendelig rekke, er ikke summen definert og vi kan heller ikke påstå at summen er lik 0 (eller 1). Argumentet vårt er ugyldig.