Bevegelse
Oppgave
Du slipper en stein ned i en brønn for å finne ut hvor dyp brønnen er. Du hører lyden av plasket etter 3.5 sekunder. Hvor dyp beregner du brønnen til å være hvis:
- du ikke tar hensyn til lydfarten (dvs. du hører steinen idet den treffer bunnen av brønnen)?
- hvis du tar hensyn til at lyden beveger seg med 340 m/s?
Løsningsforslag
Hvis vi ikke tar hensyn til lydfarten, så antar vi at steinen treffer bunnen idet vi hører plasket, dvs. etter t = 3.5 sekunder. Steinen har en starthastighet på \(v_0 = 0\) idet vi slipper den og en konstant akselerasjon på \(a = g = 9.8 \mbox{ m/s}^2\). Vi kan bruke bevegelseslikningen \(s = v_0t + \frac{1}{2}at^2\) og får:
\begin{align*} s &= v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\ &= 0\cdot 3.5 \mbox{ s} + \frac{1}{2}\cdot 9.8\mbox{ m/s}^2 \cdot (3.5 \mbox{ s})^2 \\ &\approx 60 \mbox{ m} \end{align*}Vi beregner dybden til å være ca. 60 m. Dersom vi skal ta hensyn til lydfarten, blir oppgaven fort mer vanskelig. Når vi hører plasket etter 3.5 sekunder, så har både steinen falt til bunn og lyden har beveget seg fra bunnen av brønnen og opp. Vi kan dele opp disse to situasjonene. La \(t_1\) være tiden det tar før steinen treffer vannet og \(t_2\) være tiden det tar for lyden å bevege seg fra bunn til topp.
Vi vet ikke hva hver av disse tidene her, men vi vet summen av dem, dvs. vi vet at \(t = t_1 + t_2 = 3.5 \mbox{ s}\), siden det er når steinen har falt ned og lyden har kommet opp, at vi hører plasket. For \(t_1\) kan vi bruke samme bevegelseslikning som i sted, dvs. \(s = v_0t + \frac{1}{2}at^2\). Vi skriver om denne for å få \(t\) alene.
\begin{align*} s &= v_0t +\frac{1}{2}a{t_1}^2 \\ s &= 0 + \frac{1}{2}a {t_1}^2 \\ t_1^2 &= \frac{2s}{a} \\ t_1 &= \sqrt{\frac{2s}{a}} \end{align*}For \(t_2\) kan vi bruke at lyden bevegere seg med konstant fart. Vi kan da bruke \(s = vt\). Vi skriver om denne for \(t\):
\begin{align*} s &= vt_2 \\ t_2 &= \frac{s}{v} \end{align*}Vi kan nå sette inn i uttrykket for den totale tiden:
\begin{align*} t &= t_1 + t_2 \\ t &= \sqrt{\frac{2s}{a}} + \frac{s}{v} \end{align*}I den siste likningen over vet vi alle størrelser utenom \(s\). Vi vet \(t = 3.5 \mbox{ s}\), \(a = 9.8 \mbox{ m/s}^2\) og \(v = 340 \mbox{ m/s}\). Vi har da i praksis en likning med èn ukjent. Det kan virke vanskelig å løse denne siden den ene s-en er under et rottegn, men dette løser vi ved å få rottegnet alene på en side av likheten og dermed kvadrerer hver side:
\begin{align*} t &= \sqrt{\frac{2s}{a}} + \frac{s}{v} \\ t - \frac{s}{v} &= \sqrt{\frac{2s}{a}} \\ \left(t - \frac{s}{v}\right)^2 &= \left(\sqrt{\frac{2s}{a}}\right)^2 \\ t^2 - 2\frac{ts}{v} + \frac{s^2}{v^2}&= \frac{2s}{a} \end{align*}Dette virker som en veldig vanskelig likning å løse, men det blir litt tydeligere hvis vi rydder litt opp:
\begin{align*} t^2 - 2\frac{ts}{v} + \frac{s^2}{v^2}&= \frac{2s}{a} \\ \frac{1}{v^2}s^2 + \left(-\frac{2t}{v}-\frac{2}{a}\right)s + t^2 &= 0 \end{align*}Dette er rett og slett en annengradslikning for s. Vi kan sette inn de størrelsene vi kjenner for å gjøre det lettere å se. For å gjøre regningen ryddighere, la oss bare sette inn tallverdier og vente med enhetene til slutten:
\begin{align*} \frac{1}{340^2}s^2 - \left(\frac{-2\cdot 3.5}{340}-\frac{2}{9.8}\right)s + 3.5^2 &= 0 \\ \frac{1}{114500}s^2 -0.22467s + 12.25 &= 0 \end{align*}Denne annengradslikningne kan vi løse med ABC-formelen eller på en kalkulator. Den har to løsninger: s = ca. 55 og s = 25670. Det siste er opplagt feil, så det er det første svaret som teller. Dvs. vi beregner dybden av brønnen til å være 55 meter. Dette er ikke så langt unna det første svaret på 60 meter.