Krefter
Oppgave
Vi sender en stein på 11 kg bortever et underlag med en fart på 5.5 m/s. Friksjonstallet mellom underlaget og klossen er μ = 0.80.
- Hvor stor er friksjonskrafta som virker på klossen?
- Hvor langt tid tar det før klossen står i ro?
- Dersom vi påvirker steinen med en kraft på 15 N rett nedover mens den glir bortover, hvor lang tid tar det nå før steinen står i ro?
Løsningsforslag
Vi starter med å lage en figur som viser kreftene som virker på klossen:
Friksjonskraften er gitt ved uttrykket:
\begin{align*} F_R = \mu F_N \end{align*}Normalkraften \(F_N\) kan vi finne ved å bruke Newtons første lov i vertikal retning (y-retning). Det virker kun to krefter i y-retning; tyngdekraften og normalkraften. Siden det ikke er noen bevegelse i y-retning (klossen sklir kun horisontalt (x-retning)), må summen av kreftene i y-retning være null. Dvs. at normalkraften må være like stor som tyngdekraften. Dette gir oss:
\begin{align*} F_R = \mu F_N \\ &= \mu \cdot mg \\ &= 0.80 \cdot 11\mbox{ kg} \cdot 9.8 \mbox{ m/s}^2 \\ F_R &= 86.24 \mbox{ N} \approx \underline{\underline{86 \mbox{ N}}} \end{align*}I x-retning virker det kun èn kraft; friksjonskraften. Vi kan bruke Newtons andre lov til å finne ut hvilken akselerasjon bilen har:
\begin{align*} \sum F = ma &= F_R = \mu \cdot mg \\ a &= \mu \cdot g \end{align*}I tillegg kan vi bruke bevegelseslikningen \(v = v_0 + at\) for å finne ut hvor lang tid det tar før klossen står i ro. Når klossen står i ro, har den farten \(v=0\). Siden akselerasjonen virker i motsatt retning av starthastigheten \(v_0\), må en av disse være negative. Når vi brukte Newtons andre lov over, brukte vi at positiv retning er "bakover", dvs. i retningen til akselerasjonen. Dette gir oss \(v_0 = -5.5 \mbox{ m/s}\) og vi får:
\begin{align*} 0 &= v_0 + at \\ at &= -v_0 \\ t &= \frac{-v_0}{a} = \frac{-v_0}{\mu g} \\ &= \frac{-\cdot (5.5 \mbox{ m/s})}{0.80 \cdot 9.8 \mbox{ m/s}^2} \\ t &= 0.70153 \mbox{ s} \approx \underline{\underline{0.70 \mbox{ s}}} \end{align*}Dersom vi dytter ned med en kraft \(F_d = 15 \mbox{ N}\), endrer dette verdien til normalkraften \(F_N\). Det virker nå en ekstra kraft nedover i tillegg til normalkraften og tyngdekraften. Bruker vi nå Newtons første lov i y-retning, får vi:
\begin{align*} F_N - F_g - F_d &= 0 \\ F_N &= F_g + F_d \\ F_N &= mg + F_d \end{align*}Setter vi dette inn i Newtons andre lov i x-retning, får vi:
\begin{align*} \sum F = ma &= F_R = \mu F_N \\ ma &= \mu (mg + F_d) \\ a &= \frac{\mu (mg + F_d)}{m} \end{align*}Dette kan vi sette inn i uttrykket vi fant for tiden:
\begin{align*} t &= \frac{-v_0}{a} \frac{-v_0}{\dfrac{\mu (mg + F_d)}{m}} = \frac{-v_0 m}{\mu (mg + F_d)} \\ \\ &= \frac{-(-5.5\mbox{ m/s}\cdot 11\mbox{ kg})}{0.80 \cdot(11 \mbox{ kg}\cdot 9.8 \mbox{ m/s}^2 + 15 \mbox{ N})} \\ \\ &= 0.61584 \mbox{ s} \approx \underline{\underline{ 0.62 \mbox{ s}}} \end{align*}