Naturfag 4

Fysikkoppgaver

Elektrisitet

Oppgave

Tegningen under viser en krets med \(R_1 = 1.0 \ \Omega\), \(R_2 = 2.0 \ \Omega\), \(R_3 = 3.0 \ \Omega\), \(R_4 = 4.0 \ \Omega\) og \(R_5 = 5.0 \ \Omega\).

  1. Regn ut resultantresistansen i kretsen.
  2. Regn ut spenningen over motstanden \(R_2\).

Løsningsforslag

a)

Her er det lurt å ta det stegvis. Vi kan starte med å finne resultantresistanten eller totalmotstanden i parallellkoblingen mellom \(R_2\) og \(R_3\). La oss kalle denne for \(R_a\).

Vi bruker reglene for totalmotstand i parallellkoblinger og får:

\begin{align*} \frac{1}{R_a} &= \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \\ R_a &= \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} \\ R_a &= \frac{2 \cdot 3}{2 + 3} \Omega \\ R_a &= 1.2 \ \Omega \end{align*}

Videre slår vi sammen \(R_a\) med \(R_4\) og erstatter disse med en motstand vi kaller \(R_b\).

Siden \(R_a\) og \(R_4\) er koblet i parallell, får vi:

\begin{align*} \frac{1}{R_b} &= \frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_4} \\ R_b &= \frac{R_a R_4}{R_a + R_4} \\ R_b &= \frac{1.2 \cdot 4}{1.2 + 4} \Omega \\ R_b &= \frac{4.8}{5.2} \ \Omega \end{align*}

Vi står nå igjen med en krets som ser ut som kretsen under:

Her er alle komponenter koblet i serie, så den totale motstanden \(\R) blir:

\begin{align*} R &= R_1 + R_b + R_5 \\ R &= 1 \ \Omega + \frac{4.8}{5.2}\Omega + 5 \ \Omega \\ R &= \underline{\underline{\frac{36}{5.2} \Omega \approx 6.9 \ \Omega}} \end{align*} b)

Siden \(R_2\), \(R_3\) og \(R_4\) er koblet i parallell, vil spenningsfallet over disse være like (like stor som spenningen over \(R_b\)). For å finne disse, må vi først finne spenningen over \(R_1\) og \(R_5\). For å finne dette, trenger vi å vite hovedstrømmen i kretsen. Denne finner vi ved å se på den totale motstanden i kretsen, som vi fant i forrige oppgave. Vi bruker Ohms lov og får:

\begin{align*} U &= R I \\ I &= \frac{U}{R} \\ I &= \frac{12 \mbox{ V}}{\frac{36}{5.2} \Omega} \\ I &= \frac{62.4}{36} \mbox{A} \end{align*}

Når vi vet strømmen, kan vi regne ut spenningsfallet over \(R_1\) og \(R_5\):

\begin{align*} U_1 &= R_1 I = 1 \ \Omega \cdot \frac{62.4}{36} \mbox{A} = \frac{62.4}{36} \mbox{ V}\\ U_5 &= R_5 I = 5 \ \Omega \cdot \frac{62.4}{36} \mbox{A} = \frac{312}{36} \mbox{ V} \end{align*}

Vi kan nå finne spenningen over \(R_b\), som er like stor som spenningen over \(R_2\):

\begin{align*} U &= U_1 + U_b + U_5 \\ U_b &= U - U_1 - U_5 \\ U_b &= 12 \mbox{ V} - \frac{62.4}{36} \mbox{ V} - \frac{312}{36} \mbox{ V} \\ U_b &= \underline{\underline{1.6 \mbox{ V}}} \end{align*}